Question

已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）
（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；
（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△沿翻折得到△，连接，取的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由题意得，∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°，∴∠GEC=90°，∴∠G=∠GEC，∴FG∥CE。
（2）GH=EH。延长GH交CE于点M，由（1）得，FG∥CE，∴∠GFH=∠MCH，∵H为CF的中点，∴FH=CH，又∵∠GHF=∠MHC，∴△GFH≌△MHC，∴GH=HM=，∵∠GEC=90°，∴EH=，∴GH=EH。
（3）（2）中的结论还成立。取PF的中点M，的中点N，∵∠FGP=90°，M为PF的中点，∴，，∥，∴GM=PM，∴∠GPF=∠MGP，∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF，∵H为的中点，M为PF的中点，∴，同理，，HN∥PF，∠，∴GM=HN，HM=EN。∵∠GPF=∠FPA，，又，∴∠GPF=，∴∠GMF=∠，∵∥，HN∥PF，∴四边形HMPN为平行四边形，∴∠HMF=∠，∴∠GMH=∠HNE，∵GM=HN，HM=EN，∴△GMH≌△HNE，∴GH=HE。

解析