Question

一次函数y=x+b与反比例函数y=

k+3

x

图象的交点为A（m，n），且m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m，n为常数．
（1）求k的值；
（2）求A的坐标与一次函数解析式．

Answer 1

分析：（1）因为关于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0有两个不相等的实数根，其中k为非负整数，利用△=（2k-7）²-4k（k+3）=-40k+49＞0即可求得k＜

49

40

，又因k为非负整数，则有k=0，1，又因当k=0时，方程kx²+（2k-7）x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾，所以k=1．
（2）因为m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0的两个不相等的实数根，而k=1，解一元二次方程就可求得m=1，n=4，确定点A的坐标，然后把点A的坐标代入一次函数解析式，利用方程求出b=3，最终解决问题．

解答：解：（1）由关于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0有两个不相等的实数根得：
△=（2k-7）²-4k（k+3）
=-40k+49＞0（01分）
∴k＜

49

40

（2分）
又∵k为非负整数，∴k=0，1（3分）
∵当k=0时，方程kx²+（2k-7）x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾
∴k=1．（4分）

（2）当k=1时，有方程x²-5x+4=0
∴x₁=1x₂=4
∵m，n（m＜n）是方程x²-5x+4=0的两个不相等的实数根
∴m=1，n=4即A点的坐标为（1，4）（6分）
把A（1，4）坐标代入y=x+b得b=3
∴所求函数解析式为y=x+3（8分）．

点评：解决本类题目需灵活运用一元二次方程的根的判别式求出字母的取值，确定点的坐标，然后将点的坐标代入函数解析式，即可解决问题．