Question

【题目】已知抛物线y=ax2﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．

（1）求抛物线的解析式．
（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为 ？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1

，

令y=0代入y=ax2﹣4a，

∴0=ax2﹣4a，

∵a＞0，

∴x2﹣4=0，

∴x=±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB=4，

过点P作PC⊥x轴于点C，

∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，

∵PB=AB=4，

∴cos∠PBC= ，

∴BC=2，

由勾股定理可求得：PC=2 ，

∵OC=OC+BC=4，

∴P（4，2 ），

把P（4，2 ）代入y=ax2﹣4a，

∴2 =16a﹣4a，

∴a= ，

∴抛物线解析式为；y= x2﹣

（2）

解：∵点M在抛物线上，

∴n= m2﹣ ，

∴M的坐标为（m， m2﹣ ），

①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，

∴2≤m≤4，

如图2，

过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，

设直线AP的解析式为y=kx+b，

把A（﹣2，0）与P（4，2 ）代入y=kx+b，

得： ，

解得

∴直线AP的解析式为：y= x+ ，

令x=m代入y= x+ ，

∴y= m+ ，

∴D的坐标为（m， m+ ），

∴DM=（ m+ ）﹣（ m2﹣ ）=﹣ m2+ m+ ，

∴S△APM= DMAE+ DMCE

= DM（AE+CE）

= DMAC

=﹣ m2+ m+4

当S△APM= 时，

∴ =﹣ m2+ m+4 ，

∴解得m=3或m=﹣1，

∵2≤m≤4，

∴m=3，

此时，M的坐标为（3， ）；

②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，

∴﹣2≤m≤2，n＜0，

当﹣2≤m≤0时，

∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ （m+ ）2+ ，

当m=﹣ 时，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，

此时，M的坐标为（﹣ ，﹣ ），

当0＜m≤2时，

∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，

当m= 时，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，

此时，M的坐标为（ ，﹣ ），

综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）时，|m|+|n|的最大值为 ．

【解析】（1）先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA=120°，PB=AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；（2）①过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，分别用含m的式子表示点D、M的坐标，然后代入△APM的面积公式 DMAC，根据题意列出方程求出m的值；
②根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当﹣2≤m≤0时，|m|=﹣m；当0＜m≤2时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值．本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函最值等知识，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质．