Question

拓展视野：
（1）如图，AB=4，点P是线段AB上一动点，CA⊥AB，DB⊥AB，AC=1，
BD=2，设AP=x，用含x的代数式表示：PC=

1+x2

，PD=

(4-x)2+4

，由图可知：PC+PD的最小值是

5

．
（2）请用（1）图重新构图，求：

4+x2

+

(12-x)2+9

最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△APC和△BPD都是直角三角形，所以根据勾股定理可得出PC，PD的长；若点P不在CD的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，PC+PD＞CD，故当C、P、D三点共线时，PC+PD的值最小，利用勾股定理求出即可；
（2）由（1）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式

4+x2

+

(12-x)2+9

的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形和直角三角形的性质可求得AE的值．

解答：解：（1）∵AP=x，AB=4，
∴PB=4-x．
在Rt△APC中，∵∠A=90°，AC=1，AP=x，
∴PC=

AC2+AP2

=

1+x2

；
在Rt△BPD中，∵∠B=90°，BD=2，PB=4-x，
∴PD=

PB2+BD2

=

(4-x)2+4

；
当C、P、D在同一直线上时，PC+PD的值最小；
如图，当C、P、D在同一直线上时，延长CA，作DE⊥AC于点E，
∵AC=1，BD=2，
∴CE=3，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAE=90°，
∵∠B=∠E=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=4，
∴CD=

CE2+DE2

=

32+42

=5；

（2）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式

4+x2

+

(12-x)2+9

的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=

AF2+EF2

=

122+52

=13，
即

4+x2

+

(12-x)2+9

的最小值为13．
故答案为

1+x2

，

(4-x)2+4

，5．

点评：本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．