Question

已知关于x的一元二次方程x²-4x+m=0．
（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）设方程的两个实数根为x₁和x₂，如果（x₁-2）（x₂-2）=5m，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据关于x的方程x²-4x+m=0有两个实数根，则△≥0，列出不等式，即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x₁+x₂=4，x₁•x₂=-m代入化简以后的等式，即可求得m的值．
解答：解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△=（-4）²-4k≥0，
∴k≤4；
（2）根据条件得x₁+x₂=4，x₁x₂=m． 
∵（x₁-2）（x₂-2）=5m，
∴x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=5m，
∴m-2×4+4=5m，
∴m=-1．
点评：解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-，x₁x₂=．