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    已知抛物线，

    （1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；

    （2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；

    （3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

    【解析】（1）通过，，求出抛物线的解析式，从而求得与轴公共点的坐标

    （2）从当时和当时分别进行分析，求的取值范围

    （3）通过关于的一元二次方程的判别式，确定抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方

     

    【答案】

    解（1）当，时，抛物线为

    方程的两个根为，．

    ∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．  ············· 2分

    （2）当时，抛物线为，且与轴有公共点．

    对于方程，判别式≥0，有≤． ·········· 3分

    ①当时，由方程，解得．

    此时抛物线为与轴只有一个公共点．········· 4分

    ②当时，

    时，，

    时，．

    由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

    应有  即

    解得．

    综上，或．    ······················· 6分

    （3）对于二次函数，

    由已知时，；时，，

    又，∴．

    于是．而，∴，即．

    ∴．  ·······························  7分

    ∵关于的一元二次方程的判别式

    ，  

    ∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．········ 8分

    又该抛物线的对称轴，

    由，，，

    得，

    ∴．

    又由已知时，；时，，观察图象，

    可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． ············ 11分

     

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    152
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