Question

【题目】已知和是两个等腰直角三角形，.连接，是的中点，连接、．

(1)如图，当与在同一直线上时，求证：；

(2)如图，当时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；

（2）证明见详解

【解析】

（1）如图所示，延长BM交EF于点D，延长AB交CF于点H，证明为△BED是等腰直角三角形和M是BD的中点即可求证结论；

（2）如图所示，做辅助线，推出BM、ME是中位线进而求证结论．

证明（1）如图所示，延长BM交EF于点D，延长AB交CF于点H

易知：△ABC和△BCH均为等腰直角三角形

∴AB＝BC＝BH

∴点B为线段AH的中点

又∵点M是线段AF的中点

∴BM是△AHF的中位线

∴BM∥HF

即BD∥CF

∴∠EDM＝∠EFC＝45°

∠EBM＝∠ECF＝45°

∴△EBD是等腰直角三角形

∵∠ABC＝∠CEF＝90°

∴AB∥EF

∴∠BAM＝∠DFM

又M是AF的中点

∴AM＝FM

在△ABM和△FDM中

∴△ABM≌△FDM(ASA)

∴BM＝DM，M是BD的中点

∴EM是△EBD斜边上的高

∴EM⊥BM

（2）如图所示，延长AB交CE于点D，连接DF，易知△ABC和△BCD均为等腰直角三角形

∴AB＝BC＝BD，AC＝CD

∴点B是AD的中点，

又∵点M是AF的中点

∴BM＝DF

延长FE交CB于点G，连接AG，易知△CEF和△CEG均为等腰直角三角形

∴CE＝EF＝EG，CF＝CG

∴点E是FG的中点，

又∵点M是AF的中点

∴ME＝AG

在△ACG与△DCF中，

∴△ACG≌△DCF（SAS）

∴DF＝AG

∴BM＝ME