Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB.

(1)如图1，若BD=,AC=6

A.求证：BE为圆O的切线

B.求DE的长

(2)如图2，连结CD交AB于点F,若BD=，CF=3，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】（1）A.见解析；B.；（2）5

【解析】

（1）A.连接OB，由条件可求得∠EBD=∠ABO，再利用圆周角定理可求得∠EBD+∠OBD=90°，可证明BE是⊙O的切线；
B.利用圆内接四边形的性质可求得∠BDE=∠ACB，可证明△ACB∽△BDE，利用相似三角形的性质可求得DE的长；
（2）延长DB、AC交于点H，可证得△ABD≌△ABH，可求得HB，再利用△DCH∽△DBF，可求得DF的长，设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r，在Rt△DCH中可求得CH=4，在Rt△ADC中，AD=2r，CD=8，AC=2r-4，由勾股定理可得到关于r的方程，可求得圆的半径．

(1) A.如图1，连接OB，

∵BD=BC，

∴∠CAB=∠BAD，

∵∠EBD=∠CAB，

∴∠BAD=∠EBD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，OA=BO，

∴∠BAD=∠ABO，

∴∠EBD=∠ABO，

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，

∵点B在⊙O上，

∴BE是⊙O的切线；

B.∵四边形ACBD是圆的内接四边形，

∴∠ACB=∠BDE，且∠EBD=∠CAB，

∴△ACB∽△BDE，

∴=,即，

解得DE=；

(2)如图2，延长DB、AC交于点H，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠ABD=∠ABH=90°，

∵BD=BC，

∴∠DAB=∠HAB，

在△ABD和△ABH中

∴△ABD≌△ABH(ASA)，

∴BD=HB=，

∵∠DCH=∠FBD=90°，

∴△DCH∽△DBF，

∴=,即=，解得DF=5，

设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r，

在Rt△DCH中,CH===4，

∴AC=2r4，

在Rt△ACD中,由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，

∴(2r)2=(2r4)2+82，解得r=5，

即⊙O的半径为5.