Question

已知：A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段AC、BC的中点．
（1）如图，点C是线段AB上一点，
①填空：当AC=8cm，CB=6cm时，则线段MN的长度为______cm；
②当AB=acm时，求线段MN的长度，并用一句简洁的话描述你的发现．

（2）若C为线段AB延长线上的一点，则第（1）题第②小题中的结论是否仍然成立？请你画出图形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）①MN=MC+CN=AC+CB=4+3=7；
②∵点M、N分别是线段AC、BC的中点
∴MC=AC，CN=CB
∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=AB=acm
发现：不论线段AB取何值，线段MN的长恒等于线段AB长的一半．

（2）如图，C为线段AB延长线上的一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，
则结论MN=AB仍然成立．

理由：∵点M、N分别是线段AC、BC的中点
∴MC=AC，CN=CB
∴MN=MC-CN=AC-CB=（AC-CB）=AB．
分析：本题的解题的关键是按利用中点性质转化线段之间的倍分关系．
（1）①由M、N分别是线段AC、BC的中点可得出MC，NC分别是AC，BC的一半，因此MC与NC的和就是AC与BC和的一半．有AC，BC的值，就能求出MN的长度了；
②方法同①我们发现不论AC，BC的值是什么，MN=AB的结论还是一样的，只不过AC和BC的值换成了AB=a，因此MN=a．因此可得出不论AB的取何值，MN的长都是AB的一半．
（2）C是AB延长线上的一点，由M、N分别是线段AC，BC的中点可得出MC，NC分别是AC，BC的一半，因此，MC，NC的差的一半就等于AC，BC差的一半，因为，MN=MC-NC，AB=AC-BC，根据上面的分析可得出MN=AB．因此①②的结论是成立的．
点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．