Question

16．已知，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．
（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度数．
（2）若AF=12cm，AG=6.5cm，求△AEF中EF边上的高？

Answer 1

分析 （1）由长方形的性质和等腰三角形的性质得出∠ACG=∠AGC，由已知条件得出∠AGC=∠GAF+∠F，得出∠F=∠FAG，∠ACG=2∠ECB，由∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB=60°，即可得出结果；
（2）设△AEF中EF边上的高为hcm，证出EG=AG=GF，由直角三角形斜边上的中线性质得出EF=2AG=13（cm），由勾股定理求出AE，由三角形的面积即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴DF∥BC，
∴∠AFC=∠ECB，
∵AC=AG，
∴∠ACG=∠AGC，
∵∠ACG=2∠GAF，∠AGC=∠GAF+∠F，
∴∠F=∠FAG，
∴∠ACG=2∠ECB，
∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB=60°，
∴∠ECB=20°；
（2）设△AEF中EF边上的高为hcm，
∵∠F=∠FAG，
∴AG=GF，
∵∠BAF=90°，
∴∠EAG+∠GAF=90°，∠AEF+∠EFA=90°，
∴∠EAG=∠AEG，
∴EG=AG=GF，
∴EF=2AG=2×6.5=13（cm），
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5（cm），
∵△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$EF•h，
解得：h=$\frac{60}{13}$cm，
即△AEF中EF边上的高为$\frac{60}{13}$cm．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形和等腰三角形的性质是解决问题的关键．