Question

探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= _________ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度数．

Answer 1

解：
（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；
且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因为∠A=50°，∠BXC=90°，所以∠ABX+∠ACX=90°﹣50°=40°；
②由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，
易得∠DCE=90°；
③∠BG₁C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°﹣x°
∴（140﹣x）+x=77，
14﹣x+x=77，
x=70
∴∠A为70°．