Question

【题目】二次函数y＝ax2+2x﹣2，若对满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立，则实数a的取值范围为_____．

Answer 1

【答案】a>-

【解析】

方法1：由题意可得ax2+2x-2＞0，即为a＞对3＜x＜4成立，求得右边函数的取值范围，即可得到所求a的范围．

方法二：分情况讨论：①时，抛物线开口向上，时符合题意，时，由于抛物线对称轴在y轴左侧，可知x=3时y＞0，则符合题意；②时，抛物线开口向下，则同时满足x=3，x=4时，y＞0，则符合题意．

方法一：解：若对满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立，

即有ax2+2x﹣2＞0，即为a＞，且 3＜x＜4，

由y=在3＜x＜4内y随x的增大而增大，

因为当x＝3，可得y=＝﹣，当x＝4，可得y=＝﹣，

所以﹣＜＜﹣，

所以a>-

有∵a≠0，

故答案为：a>-且a≠0．

方法二：解：①当时，抛物线开口向上，

若，则对于任意实数x都有y＞0，

即，解得，

与矛盾，此种情况不存在；

若，即，解得

∵抛物线对称轴

∴抛物线在3＜x＜4时y随x的增大而增大

当x=3时，y＞0，则满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立

即9a+6-2＞0，解得

∴时，满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立

②当时，抛物线开口向下

同时满足x=3，x=4时，y＞0，则满足3＜x＜4的任意实数x都有y＞0成立

即

解得

∴

故答案为：或