Question

18、证明不定方程x²+y²-8z=6无整数解．

Answer 1

分析：假设存在整数解，即存在正数a，b，c满足方程x²+y²-8z=6，a²+b²=8c+6=2（4c+3），则a²，b²奇偶性相同即a，b奇偶性相同，再分别根据a，b都是偶数和a，b都是奇数两种情况讨论即可．

解答：解：假设存在整数解，即存在正数a，b，c满足方程x²+y²-8z=6．
 则：a²+b²=8c+6=2（4c+3），
 于是，a²，b²奇偶性相同即a，b奇偶性相同，
（1）a，b都是偶数，于是存在整数，m，n使得：a=2m，b=2n．
则：a²+b²=4m²+4n²=2（4c+3），
则：2（m²+n²）=4c+3，即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾；
（2）a，b都是奇数，于是存在整数，m，n使得：a=2m-1，b=2n-1．
 则：a²+b²=4m²-4m+1+4n²-4n+1=4[m（m-1）+n（n-1）]+2=8c+6
 则：m（m-1）+n（n-1）=2c+1．
由m，m-1使相邻整数，n，n-1是相邻整数，则：m，m-1必有一个是偶数，n，n-1必有一个是偶数．于是：m（m-1）+n（n-1）是偶数，而2c+1是奇数，此等式不成立，矛盾．
综上所述：假设不成立，即方程x²+y²-8z=6没有整数解．

点评：本题考查的是同余问题，能利用反证法假设此方程存在整数解，利用a，b奇偶性相同得出结论是解答此题的关键．