Question

【题目】定义：如图（1），，，，四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形.

动手操作：

（1）如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由个小正方形组成一个大正方形，点、在格点上，请在图（2）中画出四边形的内接菱形；

特例探索：

（2）如图3，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，求的长度；

拓展应用：

（3）如图4，平行四边形，，，点在线段上且，

①请你在图4中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；

②在①的条件下，当的长最短时，的长为__________

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）①详见解析；②的长为

【解析】

（1）以EF为边，作一个菱形，使其各边长都为 ；

（2）如图2，连接HF，证明△DHG≌△BFE（AAS），可得CG＝3；

（3）①根据（2）中可知DG＝BE＝2，根据对角线垂直平分作内接菱形EFGH；

②如图5，当F与C重合，则A与H重合时，此时BF的长最小，就是BC的长，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理计算可得结论．

（1）如图2所示，菱形即为所求；

（2）如图3，连接，

四边形是矩形，，，，，

四边形是菱形，，，，，即，

，；

（3）①如图4所示，由（2）知：，，

作法：作，连接，再作的垂直平分线，交、于、，得四边形即为所求作的内接菱形；

②如图5，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于，中，，，，，

四边形是菱形，，

，

即当的长最短时，的长为