Question

如图①，在⊙O中AB是直径，D是上半圆中点，E是下半圆中点，点C是⊙O上一点（不与B、E重合）连接AD、BD、AC、BC．设BC长度为n，AC长度为m．
（1）用含m、n的式子表示四边形ACBD的面积S；
（2）证明：；
（3）如图②③，当点C运动至或上时，②中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接写答案，并选择其中一种证明）

Answer 1

解：（1）∵AB的⊙O的直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵D是上半圆中点，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AB==，
∴AD=AB=，
∴四边形ACBD的面积S=S_△ABC+S_△ABD，
=AC•BC+AD²，
=mn+×（m²+n²），
=（m+n）²；

（2）如图①，过点D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延长线于N，则四边形DMCN是矩形，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
又∵∠ADM+∠BDN=∠ADB=90°，
∴∠ADM=∠BDN，
∵在△ADM和△BDN中，
，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
设正方形的边长为x，AM=BN=y，则
，
解得，
tan∠DAC===；

（3）结论不成立，点C在上时，tan∠DAC=；
点C在上时，tan∠DAC=．
理由如下：点C在上时，
如图②，点C′为点C关于原点的对称点，连接AC′、BC′，
则四边形AC′C是矩形，
∴AC′=BC=n，BC′=AC=m，
过点D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延长线于N，
与（2）同理可求，AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
设正方形的边长为x，AM=BN=y，则，
解得，
∵DM⊥AC′，AC′∥BC，
∴DM⊥BC，
∵∠C=90°，
∴AC∥DM，
∴∠DAC=∠ADM，
∴tan∠DAC=tan∠ADM===；
点C在上时，如图③，
设正方形的边长为x，AN=BM=y，则，
解得，
tan∠DAC=tan∠ADN===．
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=∠D=90°，根据等弧所对的弦相等可得AD=BD，从而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理列式求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出AD，然后根据四边形ACBD的面积S=S_△ABC+S_△ABD，列式计算即可得解；
（2）过点D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延长线于N，可得四边形DMCN是矩形，根据同角的余角相等求出∠ADM=∠BDN，然后利用“角角边”证明△ADM和△BDN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BN，DM=DN，从而得到矩形DMCN是正方形，设正方形的边长为x，AM=BN=y，然后用m、n表示a列出方程组求解得到x、y，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）图②，先求出点C关于原点的对称点C′，连接AC′、BC′，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形可得四边形AC′C是矩形，过点D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延长线于N，然后与（2）的思路相同求解即可；图③同理可求．
点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角的正切的定义，作辅助线构造出全等三角形与正方形是解题的关键，也是本题的难点．