Question

在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．

Answer 1

分析：（1）推出∠3=∠E，推出AC=AE，根据等腰三角形性质得出AF⊥CE，根据平行线性质推出即可；
（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．得出方程4+7-x=x．求出即可．

解答：（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2．
∵CE∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠3．
∴∠E=∠3．
∴AC=AE．
∵F为EC的中点，
∴AF⊥EC，
∵AD∥EC，
∴∠AFE=∠FAD=90°．
∴AF⊥AD．

（2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，
∴∠3=∠C，∠F=∠4．
∵M为BC的中点
∴BM=CM．
在△BFM和△CNM中，

∠F=∠4 ∠3=∠C BM=CM

∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF=CN，
∵MN∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．
∴∠E=∠5=∠F．
∴AE=AN，BE=BF．
设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．
∴4+7-x=x．
解得 x=5.5．
∴CN=5.5．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用．