Question

【题目】如图1，是内任意一点，连接，分别以为边作（在的左侧）和（在的右侧），使得，，连接．

（1）求证：；

（2）如图2，交于点，若，点共线，其他条件不变，

①判断四边形的形状，并说明理由；

②当，，且四边形是正方形时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形是矩形．理由见解析；②．

【解析】

（1）根据,得到,,再证,

方法一:通过证明,,从而四边形是平行四边形, ,所以为矩形.

方法二:证明

方法三:证,,．

（1）∵，

∴，．

∴，，即．．

∴．

（2）①四边形是矩形．理由如下：

方法一：由（1）知，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵，∴，．

∴，，即．

∴． ∴．

∵． ∴．

∴．∴．∴．

∴四边形是平行四边形．

∵，，点共线，∴．

∴四边形是矩形．

方法二：如图

由（1）知，∴．

∵，，点共线，∴．

∴，．

又∵，∴．

∴．

∴．

∵,

∴，即．

∴．

∵，∴，

∴，，即．

∴，∴．

∵，，点共线，

∴．

∴，．

∴，即．

∴．

∵，，

∴四边形是矩形．

方法三：由（1）知，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

由（1）知，∴．

∵，，点共线，∴．

∴，．

又∵，∴，∴．

∴．

∵，∴，即．

∴． ∵，∴．

∴四边形是矩形．

②