Question

【题目】抛物线交轴于两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接．

（1）求抛物线解析式；

（2）在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3），，

【解析】

（1）由题意设，结合抛物线，从而可得答案；

（2）过作轴，交于 设点的坐标为，表示的坐标，求解长度，利用可得答案；

（3）分情况讨论：当时，过作交于，求解的坐标，利用函数的交点求解的坐标，当过点作，则有，利用二次函数的对称性可得答案，当作的垂直平分线，交抛物线于点，则有，利用函数的交点求得的坐标．

解：（1） 点的坐标为，点的坐标为，

设抛物线的解析式为

，

抛物线解析式为：

（2）存在，理由如下：过作轴，交于

设点的坐标为，

抛物线解析式为：

点的坐标为，

设直线的解析式为：

解得：

直线的解析式为

故点的坐标为

故当时，有最大值为

此时点的坐标为

（3）点的坐标为；；；

理由如下：如图4，，可得；

同上可知线段的解析式为，

过作交于，

直线，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得

解得点的坐标为，

故点关于的对称点的坐标为，

点的坐标为，点的坐标为，

设直线的解析式为：，

解得：

直线的解析式为

将与联立方程可得：

，解得（舍），，

故点的坐标为；

如图5，过点作，

，

此时点关于抛物线的对称轴对称，

点的坐标为，故此时点的坐标为

如图6，作的垂直平分线，交抛物线于点，

点的坐标为，点的坐标为，

中点的坐标为，

直线，并经过点，

设直线的解析式为:

直线的解析式为，

将与

联立方程组可得

，

解得，（舍）

故点的坐标为

综上可得点的坐标为：；；