Question

如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点．抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过O、A两点，且其顶点的纵坐标为．

（1）分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
-x+8=0，x=6；
y=0+8，y=8；
（6+0）÷2=3，（0+8）÷2=4．
∴A（6，0）、B（0，8）、C（3，4）；

（2）依题意有
解得
∴抛物线的函数解析式为y=；

（3）存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，
∵∠AOB=90°，A（6，0）、B（0，8），
∴，
∵C是AB的中点，
∴OC==5，
∵OB=8，
∴OB＞OC，且OB＞BC，
∴当以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形时，OB是该菱形的对角线，
连接PC，则OB是PC的垂直平分线，
∴点P与点C关于直线OB对称，即P与C关于y轴对称，
∵C（3，4），
∴P（-3，4），
把点P（-3，4）代入抛物线方程y=得：
当x=-3时，y=，
∴点P（-3，4）在抛物线上．
故在抛物线上存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，点P的坐标是（-3，4）．
分析：（1）根据直线AB的解析式，可确定A、B的坐标，再根据中点坐标公式求出C点的坐标；
（2）欲求过O、A二点且其顶点的纵坐标为的抛物线解析式，利用待定系数法来求得该抛物线的解析式．
（3）首先假设成立，根据菱形的性质求解，求得点P坐标为（-3，4）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、菱形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．