[题目]如图.抛物线y=ax2-x+c(a≠0)的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C(0.-2).已知B点坐标为(4.0)(1)求抛物线的解析式,(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置.并求出圆心坐标,(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点.记点M到线段BC的距离为d.当d取最大值时.求出此时M点的坐标,(4)若点P是抛物线上一点.点E是直线y=-x+1上的动点.是否存在点P.E.使以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，抛物线y=ax2-x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-2），已知B点坐标为（4，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；

（4）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=-x+1上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）外接圆的圆心为AB的中点，坐标为（，0）；

（3）M（2，-3）；（4）,，

【解析】

（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中y=0得到关于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出点A的坐标，根据两点间的距离公式即可求出AC、AB、BC，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC为直角三角形，由此即可得出△ABC的外接圆的圆心位置，再根据点A、B的坐标即可求出圆心坐标；
（3）将直线AB往下平移得到直线l，直线l与抛物线只有一个交点M时，此时点M到直线AB的距离最远，根据点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，设出直线l的解析式为y=x+m，将其代入抛物线解析式中令△=0，即可求出m值，再联立直线l和抛物线解析式成方程组，解方程组即可求出点M的坐标；

（4）多种情况分类讨论：若AB线段为平行四边形的一条边；若AB线段为平行四边形的一条对角线，进而求解.

(1)将B(4,0)、C(0,2)代入y=ax+c(a≠0)中，

得：,解得：，

∴抛物线的解析式为y= x2.

(2)令y= x2中x=0,即 x2=0，

解得：=1, =4，

∴A(1,0).

∵B(4,0),C(0,2)，

∴AC=,BC=2，AB=5，

∵，

∴△ABC为直角三角形。

∴AB为△ABC外接圆的直径，

∴该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为(,0).

(3)将直线AB往下平移得到直线l,直线l与抛物线只有一个交点M时,此时点M到直线AB的距离最远,如图1所示。

设直线AB的解析式为y=kx+b，直线l的解析式为y=kx+m，

将点B(4,0)、C(0,2)代入y=kx+b中，

得：,解得：,

∴直线BC的解析式为y= x2.

将y= x+m代入y= x2中,得 x2=x+m,即 2x2m=0.

∵直线l与抛物线只有一个交点，

∴△=4××(2m)=8+2m=0，解得：m=4，

∴直线l的解析式为y=x4.

联立直线l与抛物线解析式得：,解得：，

∴M(2,3).

故：记点M到线段BC的距离为d,当d取最大值时,求出此时M点的坐标为(2,3).

（4）设P,E

若AB线段为平行四边形的一条边

则PEAB

由A(1,0)，B(4,0)可知，AB=5

当时，解得，此时E点坐标为或

当时，无解.

若AB线段为平行四边形的一条对角线，

线段AB的中点即线段PE的中点，

解得n=

此时E点坐标为

综上E点坐标为,，.

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