Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F.

（1）在图1中，依题意补全图形；

（2）记（），求的大小；（用含的式子表示）

（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）BC=2EF，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意画图即可补全图形；

（2）如图3，连接AE、DE，根据轴对称的性质可得：AE=AC，∠EAD=，进而可用α的代数式表示出∠BAF，然后在等腰△ABE中利用三角形的内角和即可求出；

（3）如图4，设AF、CE交于点G，由△ACE是等边三角形可得∠EAC=60°，CE=AC，然后根据轴对称的性质可得AF⊥CE，∠FAE=，进而可得∠BAF=60°，CE=2EG，易证△EFG为等腰直角三角形，从而可得，而，进一步即可得出结论.

解：（1）补全图形如图2：

（2）如图3，连接AE、DE，

∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AE=AC，∠EAD=，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=AE，，

∴；

（3）猜想：BC=2EF.

证明：如图4，设AF、CE交于点G，

∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，CE=AC，

∵点C关于直线AD的对称点为点E，

∴AF⊥CE，∠FAE=，∴∠BAF=60°，CE=2EG，

由（2）题知，∠ABF=45°+30°=75°，则在△ABF中，∠AFB=180°－∠ABF－∠BAF=45°，

∴∠GEF=45°，∴，

又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴，

∴.