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    邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形．

    （1）判断与推理：
    ①邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形；
    ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
    （2）操作、探究与计算：
    ①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
    ②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．
    【答案】分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
    ②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
    （2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；
    ②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出?ABCD是几阶准菱形．
    解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
    故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
    故答案为：2；
    ②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AE∥BF，
    ∴∠AEB=∠FBE，
    ∴∠AEB=∠ABE，
    ∴AE=AB，
    ∴AE=BF，
    ∴四边形ABFE是平行四边形，
    ∴四边形ABFE是菱形；

    （2）
    ①如图所示：
    ，
    ②答：10阶菱形，
    ∵a=6b+r，b=5r，
    ∴a=6×5r+r=31r；
    如图所示：

    故?ABCD是10阶准菱形．
    点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．
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    （1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
    （2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出
    MM′N′N
    的值（用含α的三角函数表示）．
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    ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；

    ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若     相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

     

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    ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
    ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若    相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

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