Question

抛物线y=

1

6

x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为A（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=

1

6

x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）以点M（4，0）为圆心、2为半径，在x轴下方作半圆，CE是过点C的半圆的切线，E为切点，求OE所在直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式即可求出点Q的坐标及抛物线的对称轴方程；易知A、B关于抛物线的对称轴对称，若连接AQ，那么AQ与抛物线对称轴的交点即为所求的P点，此时PQ+PB的最小值即为线段AQ的长，可过Q作x轴的垂线，根据勾股定理即可求出AQ的长；
（3）若CE切⊙M于E，则∠MED=∠COD=90°（D为CE与x轴的交点）；而ME=OC=2，即可证得△DEM≌△DOC，由此可得∠DOE、∠DEO、∠DCM、∠DMC都相等，即CM∥OE；可用待定系数法求出直线CM的解析式，然后将直线CM向下平移2个单位即可得到直线OE的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

6

x2+bx+c过点A（2，0）和C（0，2），则

c=2 1 6 ×22+2b+c=0

解得

b=- 4 3 c=2

；
∴所求抛物线的解析式为y=

1

6

x2-

4

3

x+2；（2分）

（2）如图，抛物线对称轴l是x=4，点B的坐标为B（6，0）
∵Q（8，m）抛物线上，
∴m=2（3分）
过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=

AK2+QK2

=2

10

又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2

10

；（4分）

（3）连接EM和CM，设CE交x轴于点D
由已知，得EM=OC=2
∵CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，
则∠DEM=∠DOC=90°，
又∵∠ODC=∠EDM
故△DEM≌△DOC（6分）
∴OD=DE，CD=MD；
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC
则OE∥CM
设CM所在直线的解析式为y=kx+n，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴

4k+n=0 n=2

，
解得

k=- 1 2 n=2

；
直线CM的解析式为y=-

1

2

x+2（7分）
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
则直线OE的解析式为y=-

1

2

x．（8分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的应用、全等三角形的判定和性质以及切线的性质等知识，综合性强，难度较大．