Question

【题目】已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．

（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；

（2）如图2，若∠ABC＝90°时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；

（3）如图1，当PQ＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠COB＝2α；（2）阴影部分面积＝；（3）.

【解析】

（1）根据圆周角定理可得∠COB＝2∠A＝2α；

（2）当∠ABC＝90°时，可得点P与圆心O重合，根据△OBC的周长为16以及AB＝8，可求得⊙O的半径为5，可得出扇形COB的面积以及△OBC的面积，进而得出阴影部分面积；

（3）由CD∥AB∥PQ，可得△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，即，两式子相加可得，即可得出的值．

解：（1）∵∠A的度数为α，

∴∠COB＝2∠A＝2α，

（2）当∠ABC＝90°时，AC为⊙O的直径，

∵CD∥AB，

∴∠DCB＝180°﹣90°＝90，

∴BD为⊙O的直径，

∴P与圆心O重合，

∵PQ∥AB交于Q，

∴OQ⊥BC，

∴CQ＝BQ，

∵AB＝8，

∴OQ＝AB＝4，

设⊙O的半径为r，

∵△OBC的周长为16，

∴CQ＝8﹣r，

∴（8﹣r）2+42＝r2，

解得r＝5，CB＝6，

∴阴影部分面积＝；

（3）∵CD∥AB∥PQ，

∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，

∴，

∴，

∵PQ＝2，

∴，

∴＝2．