Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°．
（1）试判断△ABD与△DCE是否相似并说明理由；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；并指出当点D在BC上运动（不与B、C重合）时，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

解：（1）△ABD与△DCE相似
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE
∴=
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，DC=-x，EC=1-y
∴=，y=x²-x+1=（x-）²+，
当x=时，y有最小值，最小值为；

（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即x-x²=x，
∵x≠0，
∴x=-1
∴AE=1-x=2-，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE=；
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2-或．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论．
点评：此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．