Question

（2004•淄博）过边长为1的正方形的中心O引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB长的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：设A、B分别是正方形MNPQ的边MN和NP上的点，根据正方形的性质可求得AB的长，因为边长为1，从而不难求得其取值范围．
解答：解：设A、B分别是正方形MNPQ的边MN和NP上的点，
∵O是正方形MNPQ的中心，
∴OM=ON，∠OMN=∠ONM=45°，∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BON+∠AON=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=OA，
∵正方形MNPQ的边长是1，
∴OM=，O到MN的距离等于（O到MN的垂线段的长度），
∴≤OA≤，
∴AB的取值范围是：≤AB≤1．
故答案为：≤AB≤1．
点评：解决本题的关键是作出辅助线构造全等三角形．连接中心和相关的正方形顶点是常用的辅助线方法．