Question

如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。

由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。

∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形AFCE为菱形。

（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a²=b²+c²。理由如下：

由折叠的性质，得：CE=AE。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°。

∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。

在Rt△DCE中，CE²=CD²+DE²，

∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a²=b²+c²。

【解析】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形。

（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a²=b²+c²。（答案不唯一）