Question

ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，EF∥AB∥CD，交AD、BC于E、F，交BD、AC于G、H，
（1）找出图中两组相等的线段；
（2）对上述中一组相等线段的理由加以说明；
（3）如果AB=a，CD=b，AE：ED=m：n，求EF （用a、b、m、n的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）根据平行线分线段成比例即可得出图中两组相等的线段；
（2）证明EG=FH，根据平行线分线段成比例，可得

DE

AD

=

CF

BC

，

DE

AD

=

EG

AB

，

HF

AB

=

CF

BC

，从而得证；
（3）先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得AF：FM=AE：ED=BF：FC=m：n，从而在△ADM中，AE：DE=AF：FM，由EF∥CD可证△AEF∽△ADM，从而有EF：DM=AE：AD=m：（m+n），而AB：CM=m：n，可求CM，那么DM可求，把DM代入上式即可求EF．

解答：解：（1）图中两组相等的线段：EG=FH，EH=FG；

（2）EG=FH，理由如下：
∵EF∥AB∥CD，
∴

DE

AD

=

CF

BC

，

DE

AD

=

EG

AB

，

HF

AB

=

CF

BC

，
∴EG=FH．

（3）连接AF并延长，交DC的延长线于点M，
∵EF∥AB∥CD，
∴AF：FM=AE：ED=BF：FC=m：n，
∴

AE

AD

=

EF

DM

=

m

m+n

，
∴EF=

m

m+n

DM=

m

m+n

（DC+CM），
而

AB

CM

=

BF

FC

=

m

n

，
∴CM=

nAD

m

=

na

m

，
∴EF=

m

m+n

（b+

an

m

），
∴EF=

bm+an

m+n

．

点评：本题利用了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的推论、比例线段的性质等知识．