Question

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，边MN与边AB交于F，边AD与边QM交于E．
（1）在图1中，求证：AE+AF=
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠QMN=∠CBA=60°其他条件不变，则在图2中线段AE，AF与MA的关系为______，
（3）在（2）的条件下，若菱形MNPQ在绕着点M运动的过程中，点E，F分别在边AD，AB所在直线上时，已知菱形ABCD的边长为4，AE=1求△AFM的面积

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD和正方形QMNP，M为正方形ABCD的中心，
∴∠MDA=∠BAM=45°，MD=MA，∠AMD=∠QMN=90°，
∴∠AMD-∠AME=∠QMN-∠AME，即∠DME=∠FMA，
在△DME和△FMA中，
，
∴△DME≌△FMA（ASA），
∴DE=AF，
∴AE+AF=AE+ED=AD，
在Rt△AMD中，sin∠MDA=sin45°==，即AD=AM，
则AE+AF=AM；

（2）在图2中线段AE，AF与MA的关系为AE+AF=AM，理由为：
取AD的中点K，连接MK，
∵M为菱形的中心，即M为DB中点，
∴KM为三角形ABD的中位线，
∴KM=AB，
∵菱形ABCD，M为菱形的中心，
∴AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，
又∵∠CBA=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAM=∠MAP=∠BAD=60°，∠ABM=∠ABC=30°，
∴∠AMB=90°，即三角形ABM为直角三角形，
∴AM=AB，
∴KM=AM，又∠MAP=60°，
∴△AKM为等边三角形，
∴KM=AM=AK，∠MKA=∠KME=60°，
∴∠MKE=∠MAF=60°，
∴∠KME+∠EMA=60°，∠EMA+∠AMF=60°，
∴∠KME=∠AMF，
在△KME和△AMF中，
，
∴△KME≌△AMF（ASA），
∴KE=AF，
则AM=AK=AE+KE=AE+AF．
故答案为：AM=AE+AF；

（3）∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=BC，又∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=4，又M为AC中点，
∴AM=AC=2，又AE=1，
由（2）得出的结论AM=AE+AF，可得AF=1，
在△AME和△AMF中，
，
∴△AME≌△AMF（SAS），
∴△AME与△AMF的面积相等，
过M作MH⊥AD，连接AM，
∵菱形ABCD，
∴AM⊥BD，
在Rt△ADM中，AD=4，AM=2，
根据勾股定理得：DM=2，
在Rt△DMH中，∠MDH=30°，
∴MH=DM=，
∴S_△AME=S_△AMF=AE•MH=．
分析：（1）由四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质得到∠MDA=∠BAM=45°，MD=MA，AM与DM垂直，又四边形MNPQ也为正方形，得到∠NMQ为直角，由∠AMD与∠NMQ都减去∠AME，根据等式的性质得到∠DME与∠AMF相等，利用ASA可得出△DME与△AMF全等，由全等三角形的对应边相等可得DE=AF，由AD=DE+DA，等量代换得到AD=AF+AE，可得AM=AE+AF，得证；
（2）在图2中线段AE，AF与MA的关系为：AE+AF=AM，理由为：由四边形ABCD为菱形，∠QMN=∠CBA=60°，根据菱形的性质得到BD为∠ABC的平分线，可得∠ABM为30°，AM垂直于BD，在Rt△AMB中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AM等于AB的一半，取AD的中点P，由M为BD中点，得到MP为△ABD的中位线，根据中位线定理得到PM等于AB的一半，等量代换可得PM=AM，又AM平分∠BAD，∠BAD=120°，可得∠MAP为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得△APM为等边三角形，可得三条边相等，三个角相等都为60°，得到∠PMA为60°，可得∠PMA与∠NMQ相等，都减去∠EMA，可得∠PME与∠AMF相等，利用SAS可证明△PME与△AMF全等，根据全等三角形的对应边相等可得AF=PE，而AM=AP，AP=PE+EA，等量代换得到AP=AE+AF，可得AM=AE+AF，得证；
（3）连接AM，过M作MH垂直于AD，由菱形的边长相等，且∠CBA=60°，得到△ABC为等边三角形，可得AM为菱形边长的一半，求出AM的长，由菱形的对角线互相垂直，得到AM与BD垂直，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出DM的长，在Rt△DMH中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得MH的长，由（2）的结论得到AM=AE+AF，把AM及AE的长代入求出AF的长，得到AE=AF，又AM为角平分线，得到一对角相等，再加上公共边AM，利用SAS证明△AEM与△AFM全等，可得两三角形面积相等，利用AE•MH计算出△AEM的面积，即为△AFM的面积．
点评：此题考查了正方形的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角形函数定义，以及等腰直角三角形的性质，利用了转化的思想，要求学生作出适当的辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质得到线段的相等，利用等量代换的方法，找出线段间的等量关系，得到解决问题的目的．