Question

如图，△是边长为6的等边三角形， 是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作⊥于，连接交于.

（1）当∠时，求的长；

（2）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由．

Answer 1

解: (1)(6分)解法一：过P作PE∥QC

                         则△是等边三角形，

∵P、Q同时出发、速度相同，即BQ=AP

∴BQ=PF

∴△≌△,

∴BD=DF

∵∠∠=∠=∠=,

∴BD=DF=FA=AB==2,

∴AP=2.

解法二： ∵P、Q同时同速出发，∴AQ=BQ

设AP=BQ=，则PC=6-，QC=6+

在Rt△QCP中，∠CQP=,∠C=   ∴∠CQP=

∴QC=2PC,即6+=2（6-）

∴=2

∴AP=2

（2）由（1）知BD=DF

而△APF是等边三角形，PE⊥AF,

∵AE=EF

又DE+(BD+AE)=AB=6,

∴DE+(DF+EF)=6，

即DE+DE=6

∵DE=3为定值，即  DE的长不变