Question

【题目】如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移 个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，

（1）求直线MN的解析式；
（2）求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，

∴直线OA的解析式为y=x，

∴将OA向上平移 个单位后，N（0， ），

可设直线MN的解析式为y=x+b，

把N（0， ）代入，可得b= ，

∴直线MN的解析式为y=x+

（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，

由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，

∴△MDN∽△ABO，

∴ = =2，

设A（a，a），则AB=a，

∴MD= a=DN，

∴DO= a+ ，

∴M（ a， a+ ），

∵双曲线经过点A，M，

∴k=a×a= a×（ a+ ），

解得a=1，

∴k=1．

【解析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.