Question

已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，）
（1）求：抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8）
把代入得a=
∴y=（x-2）（x-8）
即y=

（2）顶点P（5，-3
AP=AB=BP=6
∴∠PAP′=60°
作P′G⊥AP于G，
则AG=x，P′G=x
又P′E=PE=y，EG=6-x-y
在Rt△P′EG中，
∴y=（0＜x＜6）

（3）①若EP′⊥x轴，则6-y=2x，6-=2x，
x₁=12-6，x₂=12+6（舍去）
∴P′（，0）
②若FP′⊥x轴，则6-y=x，6-x，
x₃=6-6，x₄=-6-6（舍去）
∴P′（6-6，0）
③若EF⊥x轴，显然不可能．
∴P′（，0）或P′（6-6，0）（+1分）
分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8）将C点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出P点坐标，在Rt△P′EG中，根据勾股定理便可求出y关于x的函数关系式；
（3）分别令EP′⊥x轴、FP′⊥x轴、EF⊥x轴进行分类讨论，便可得出满足题意得P点坐标．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和勾股定理等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．