Question

【题目】如图，中，，点在的延长线上，点在上，，点是与的交点，且．

图中是否存在与相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；

求证：；

若将“点在的延长线上，点在上”和“点是与的交点，且”分别改为“点在上，点在的延长线上”和“点是的延长线与的交点，且”，其他条件不变（如图）．当，时，求的长（用含、的式子表示）．

Answer 1

【答案】．证明见解析 的长为．

【解析】

（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，要证BE=CE，只需证BG=AG，由DF=FE可证到DA=AG，只需证到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需证明△DCA≌△△EDG即可解决问题．
（3）过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，可求出BC=2cosα．过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，易证△DCA≌△△EDG，则有DA=EG，CA=DG=1．易证△ADF∽△GDE，则有．由DF=kFE可得DE=EF-DF=（1-k）EF．从而可以求得AD=，即GE=．易证△ABC∽△GBE，则有，从而可以求出BE．

．

证明：∵，，

∴，．

∴．过点作，交于点，如图，

则有．

在和中，

∴．

∴，．

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．过点作，交的延长线于点，如图，

∵，，

∴，．

∴．

∵，

∴．

在和中，

∴．

∴，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

过点作，垂足为，如图，

∵，，

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴的长为．