Question

问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为______，点E落在______，容易得出BE与DE之间的数量关系为______；
（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

解：（1）如图2，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE=DE；

（2）如图3．
猜想：BE=DE．
证明：取AB的中点F，连接EF．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=AB，
∴△ACF是等边三角形．
∴AC=AF　 ①
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2=60°，AD=AE ②
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
即∠CAD=∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．
∴∠ACD=∠AFE=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE．
分析：（1）根据题意画出图形，由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，猜想：BE=DE，取AB的中点F，连接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=60°，CF=AF=AB，故△ACF是等边三角形，再由△ADE是等边三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中点，可知EF是AB的垂直平分线，
进而可得出△ADE是等边三角形，故DE=AE，BE=DE．
点评：本题考查的是等边三角形的性质及直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．