Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B．

（1）求∠OAB的度数；

（2）点M是直线y=﹣x+2上的一个动点，且⊙M的半径为2，圆心为M，判断原点O与⊙M的位置关系，并说明理由；

（3）当⊙M与y轴相切时，直接写出切点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）点O在圆M外，理由见解析；（3）（0，）或（0，）

【解析】

（1）分别求出A与B的坐标，求出OA与OB的长，利用直角三角形性质判断即可；

（2）求出点O与圆心M的距离，与半径比较大小即可；

（3）分M在第一象限与第二象限两种情况，利用切线的性质及直角三角形的性质确定出切点坐标即可．

解：（1）直线y=﹣x+2，

令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=6，

∴OA=6，OB=2，

在Rt△AOB中，tan∠OAB==，

则∠OAB=30°；

（2）点O在圆M外，理由为：

当OM⊥AB时，点M距离点O最近，此时OM=3，

∵3＞2，

∴点O在圆M外；

（3）当点M在第一象限时，设此时圆M与y轴相切于点N，可得MN=2，

∵∠BMN=∠BAO=30°，

∴设BN=x，则有BM=2x，

根据勾股定理得：x2+22=（2x）2，

解得：x=，即ON=OB﹣BN=2﹣=，

此时N坐标为（0，）；

当点M在第二象限时，设此时圆M′与y轴相切于点N′，同理可得BN＝′，

此时ON′=OB+BN′=，N坐标为（0，），

综上，圆M与y轴相切时，切点坐标为（0，）或（0，）．