Question

【题目】在等边中，点在边上，点在的延长线上且.

（1）如图1，若点为中点，求的度数；

（2）如图2，若点为上任意一点，求证.

（3）如图3，若点为上任意一点，点关于直线的对称点为点，连接，请判断的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）是等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）根据三角形的等边三角形的性质可求且，根据，等腰三角形的性质得到的度数，再通过内角和定理求，即可求出的度数.

（2）过作，交于先证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质求，，再证明，得到，再通过证明得到、通过，又因为，通过等量代换即可得到答案.

（3）通过作辅助线先证明，得到，又因为，得到AO=OP，证得为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得得到,通过角的关系得到，即可证得是等边三角形.

（1）∵为等边三角形

∴

∵为中点

∴

且

∵

∴中，

∴

∴

（2）过作，交于

∵

∴

∴为等边三角形

∴

又∵

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴，

∵，

∴

（3）为等边三角形

证明过程如下：

连接，延长交于

∵关于对称

∴

在与中，

∴

∴,

∵

∴AO=OP

∴为等腰三角形

过作，交于

由（2）得

∴

又∵

∴

∴

即

∵AB∥OE，∠B=60°

∴

∴

∴是等边三角形.