Question

10．如图，△ABC是等边三角形，AB=2cm，动点P、Q分别从点B、C同时出发，运动速度均为2cm/s．点P从B点出发，沿B→C运动，到点C停止，点Q从点C出发，沿C→B运动，到点B停止，连接AP、AQ，点P关于直线AB的对称点为D，连接BD、DQ，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当PQ=BD时，t=$\frac{1}{3}$或1s；
（2）求证：△ACP≌△ABQ；
（3）求证：△ADQ是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称图形的性质证明BD=BP，然后求出PQ的长，由PQ=BD即可求出t的值．
（2）根据判定定理（SAS）证明即可．
（3）只需证明△ABP≌△ACQ、△ABD≌△ABP，再根据全等图形的性质即可证明△ADQ是等边三角形

解答 （1）解：由题意可知：BP=2t，BQ=2t
∴PQ=|2-4t|
∵点P关于直线AB的对称点为D，
∴BP=BD
∴当PQ=BD时，有：|2-4t|=2t，t=$\frac{1}{3}$或1；
即：当PQ=BD时，t=$\frac{1}{3}$或1，
故答案为：$\frac{1}{3}$或1．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABQ=∠ACP=60°
在△ACP与△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABQ=∠ACP}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ABQ（SAS）
（3）证明：如图：

在△ABP与△ACQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）
又点P关于直线AB的对称点为D，
∴BD=BP，∠ABD=∠ABP
∴在△ABD与△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BP}\\{∠ABD=∠ABP}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ABP（SAS）
∴△ACQ≌△ABD
∴∠1=∠3，AQ=AP=AD
∵∠1+∠BAQ=∠3+∠BAQ=60°
即：∠DAQ=60°．
∴△ADQ是等边三角形．

点评 本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握轴对称图形的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质及其综合应用．