Question

已知，△ABC中，∠ABC为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE=BD，连接ED并延长交AC于F．求证：AF=CF=DF．

Answer 1

分析：根据等边对等角的性质可得∠1=∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ABC=2∠1，从而得到∠1=∠ACB，再根据对顶角相等可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠ACB，根据等角对等边可得CF=DF，再根据垂直的定义求出∠2+∠3=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB+∠4=90°，然后求出∠3=∠4，根据等角对等边可得AF=DF，从而得证．

解答：证明：如图，∵BE=BD，
∴∠1=∠E，
∴∠ABC=∠1+∠E=2∠1，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠ACB，
∴CF=DF，
∵AD为BC边上的高，
∴∠2+∠3=90°，∠ACB+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴AF=DF，
∴AF=CF=DF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角、等角对等边的性质，利用弧线加阿拉伯数字表示角更形象直观．