Question

已知：如图，△ABC中，AB=4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连接DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′．
（1）当D为AB边的中点时，求S′：S的值；
（2）若设AD=x，

S′

S

=y，试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；
（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比．

解答：解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，
根据DE∥BC，可以得到

DE

BC

=

AN

AM

=

AD

AB

=

x

4

，
则DE=

x

4

•BC，AN=

x

4

•AM；
（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，
则DE=

1

2

BC，AN=

1

2

AM，而S_△ABC=S=

1

2

•AM•BC，
∴S_△DEC=S′=

1

2

•AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DE

BC

=

AD

AB

=

x

4

，
∴

MN

AM

=

4-x

4

，

S′

S

=（

1

2

•MN•DE）：（

1

2

•AM•BC）=

DE

BC

•

MN

AM

=

x

4

•

4-x

4

=

4x-x2

16

即y=-

x2

16

+

1

4

x，（0＜x＜4）．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及三角形的面积的计算方法．正确表示出

S′

S

=

DE

BC

•

MN

AM

是解题关键．