Question

如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：
（1）AE⊥BE；
（2）AE、BE分别平分∠BAD及∠ABC．

Answer 1

证明：（1）过E作EF∥BC，
∵E是CD的中点，
∴F为AB中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
则EF=（AD+BC）=AB，
∴AE⊥BE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；

（2）∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD∥EF，
∴∠AEF=∠EAD，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴∠EAD=∠EAF，
∴AE平分∠BAD，
同理可证得：BE平分∠ABC．
分析：（1）过E作EF∥BC，利用中位线定理及直角三角形的斜边中线等于斜边一半即可作出解答；
（2）利用EF=AF及平行线的性质即可作出证明．
点评：本题考查梯形与直角三角形得结合，难度不大，作出辅助线是解答本题的关键．