Question

【题目】如图本题图①，在等腰Rt中， ,，为线段上一点，以为半径作交于点,连接、，线段、、的中点分别为、、.

（1）试探究是什么特殊三角形？说明理由；

（2）将绕点逆时针方向旋转到图②的位置，上述结论是否成立？并证明结论；

（3）若,把绕点在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差.

Answer 1

【答案】（1）为等腰直角三角形；（2）仍然为等腰直角三角形；（3）的最大值与最小值的差为：

【解析】分析：（1）由OA=OB,OP=OQ可得AP=BQ,再利用三角形的中位线可得△DMN是等腰直角三角形；

（2）由旋转的性质得∠AOP=∠BOQ，从而可证△AOP≌△BOQ，由三角形中位线的性质可得DM=DN，根据平行线的性质和三角形内角和可证∠MDN=90°，从而结论得证；

（3）如图，设⊙交于点，交延长线于点，连接，，.由三角形三边的关系得，，由三角形的面积公式得，从而可求出y的最大值和最小值，然后相减即可.

详解：（1）为等腰直角三角形

分别为的中点，

且

同理：

.

又

即为等腰直角三角形.

（2）如图，仍然为等腰直角三角形.

证明：由旋转的性质， .

≌,

.

分别为的中点， 且

同理：,

在等腰Rt中,

同理：

= .

为等腰直角三角形.

(3), 如图，设⊙交于点,交延长线于点，

连接

,而，

同理，

由题意，,

的最小值为. 同理，最大值为，

从而得的最大值与最小值的差为：