Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点为轴负半轴上一点，于点交轴于点，满足．已知抛物线经过点、、．

求抛物线的函数关系式；

连接，点在线段上方的抛物线上，连接、，若和面积满足，求点的坐标；

如图，为中点，设为线段上一点（不含端点），连接．一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止．若点在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）点在整个运动过程中所用的最少时间秒，此时点的坐标为

【解析】

（1）先利用OC=3和4CN=5ON计算出ON=，再证明△AON∽△COB，利用相似比计算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=-x2+x+3；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-x2+x+3），则Q（x，-x+3），再计算出DQ=-x2+3x，根据三角形面积公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根据S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；
（3）设F（m，-x+3）利用两点间的距离公式得到EF=，CF=x，则点P在整个运动过程中所用时间t=EF+=EF+CF，根据不等式公式得到EF+CF≥，当EF=CF时，取等号，此时t最小，解方程x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），于是得到点P在整个运动过程中所用的最少时间2××2=3秒，此时点F的坐标为（2，）．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，解得，

∴，

设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

∴抛物线解析式为；设直线的解析式为，

把，代入得，解得，

∴直线的解析式为，

作轴交于，如图，设，则，

，

∴，

∵，

∴，

整理得，解得，，

∴点坐标为或；设，则，，

点在整个运动过程中所用时间，当时，取等号，此时最小，

即，

整理得，解得，（舍去），

∴点在整个运动过程中所用的最少时间秒，此时点的坐标为．