Question

如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC角平分线，且AF⊥EC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BE，只要证得∠OAC=90°即可．
（2）根据相似三角形的判定得到△EBH∽△ECB，根据相似比即可求得EC的长．
解答：（1）证明：如图，连接BE，
∵AF是∠BAC的角平分线，AF⊥EC，
∴∠ACH=∠AHC．
∵∠BHE=∠AHC，
∴∠ACH=∠BHE．
∵E是的中点，
∴∠EBD=∠BCE．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°．（ 3分）
∴∠EBH+∠BHE=90°．
∴∠BCE+∠ACE=90°．
∴AC是⊙O的切线．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
又∵∠ACH=∠AHC，
∴AH=AC=6．
∴BH=AB-AH=10-6=4．（6分）
∵∠EBH=∠ECB，
∴△EBH∽△ECB．
∴==．
在Rt△EBC中，
∵EC=2EB，BC=8，
∵EC²+EB²=BC²
∴EC=．
点评：本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定定理及勾股定理的综合运用．