Question

（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若弧AE=弧DE，DF=2，求弧AD的长．

Answer 1

（1）见证明（2）

试题分析：
（1）证明：连结OD--------------------1分

∵AB=AC，∴∠C=∠B.
∵OD=OB，∴∠B=∠1.
∴∠C=∠1.  --------------------2分
∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO.-----------------3分
∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD且D点在⊙O 上
∴FD是圆O的切线. ------------------------------4分
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∵AC=AB，∴∠3=∠4-------------------------5分
∴，∵，∴----6分
∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等边三角形, ∠C=60°. ------------7分
在Rt△CFD中, ∵∠C=60°，∴∠CDF=30°
∵DF="2" ∴CD=∴DB=，AB=BC=
∴AO=.----------------------------8分
∴.---
点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时要注意分析切线的基本性质定理及其在证明题中的应用