Question

如图，以坐标原点O为圆心，6为半径的圆交y轴于A、B两点．AM、BN为⊙O的切线．D是切线AM上一点（D与A不重合），DE切⊙O于点E，与BN交于点C，且AD＜BC．设AD=m，BC=n．
（1）求m•n的值；
（2）若m、n是方程2t²-30t+k=0的两根．求：
①△COD的面积；
②CD所在直线的解析式；
③切点E的坐标．

Answer 1

解：（1）解法一：作DQ⊥BC于点Q．由切线长定理，可得AD=ED，BC=EC，
∴CD=m+n，QC=m-n．由勾股定理，得（m+n）²-（m-n）²=12²，可得m•n=36，
解法二：证明：△AOD∽△BCO，得，
∴AD•BC=AO•BO=36，即m•n=36；

（2）①连接OE，由已知得m+n=15，即CD=15，
∵CD切⊙O于E，∴OE⊥CD，
∴S_△COD=CD•OE=×15×6=45，
②设CD所在直线解析式为y=ax+b，
由m+n=15，m•n=36，且m＜n得m=3，n=12，
∴C（12，-6），D（3，6），
代入y=ax+b，得，解得a=-，b=10，
∴CD所在直线的解析式为y=-x+10．
③设E点坐标为（x₁，y₁），设直线CD交x轴于点G，作EF⊥BC，垂足为F，交OG于点P，则OG=（m+n）=
∵∠OGE=∠ECF，
∴Rt△OEG∽Rt△EFC，
∴，即，∴EF=
∴EP=-6=，
即y₁=，把y₁=代入y=-x+10，得x₁=
∴E（，）．
分析：（1）本题主要通过勾股定理或相似三角形来解决问题．
（2）第一问先根据一元二次方程求出m+n的值，进而求出△COD的面积．第二问主要通过先求出C，D两点的坐标，再通过待定系数法来解决的．第三问是通过说明△OEG∽△EFC求出E的纵坐标，再代入直线的解析式求出它的纵坐标．
点评：本题主要是考查切线的性质，相似三角形的判定及用待定系数法求一次函数的解析式．是一道综合性较强的题．