Question

如图，已知在⊙O的半径为6．D为弦BC的中点，A为BO延长线上一点，F为AC上一点．连BF交AD于E，BE=AC．
（1）若BC=5，求点O到BC的距离；
（2）求证：AF=EF．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据D是BC的中点可知OD⊥BC，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．

解答：解：（1）连接OD，
∵D为弦BC的中点，
∴OD⊥BC，BD=

1

2

BC=

1

2

×5=

5

2

，
在Rt△OBD中，
OD=

OB2-BD2

=

62-( 5 2 )2

=

119

2

；

（2）延长AD到点G，使得DG=AD，连接BG，
∵BD=DC，
∴△ADC≌△GDB，
∴∠CAD=∠G，BG=AC
又∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠CAD，
即：∠AEF=∠FAE，
∴AF=EF．

点评：本题考查的是垂径定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及全等三角形是解答此题的关键．