Question

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C．

Answer 1

分析：在DC上截取DE=BD，连接AE，利用SAS得出三角形ADB与三角形ADE全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=AE，利用等边对等角得到∠B=∠AEB，由AB+BD=DC，及BD=DE，得到DE+AB=DC，而DE+EC=DC，得到AB=EC，等量代换得到AE=EC，利用等边对等角得到∠EAC=∠C，由∠AEB为三角形AEC的外角，利用外角性质得到∠AEB=∠C+∠EAC，设∠C=∠EAC=x，得到∠B=∠AEB=2x，在三角形ABE中，利用三角形内角和定理表示出∠BAE，由∠BAE+∠EAC=∠BAC=120°，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到∠C的度数．

解答：解：在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ABD和△AED中，

AD=AD ∠ADB=∠ADE DB=DE

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
又AB+BD=CD，DE=BD，
∴AB+DE=CD，而CD=DE+EC，
∴AB=EC，
∴AE=EC，
故设∠EAC=∠C=x，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x，
∴∠B=2x，∠BAE=180°-2x-2x=180°-4x，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAE+∠EAC=120°，即180°-4x+x=120°，
解得：x=20°，
则∠C=20°．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．