Question

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=

 

时，四边形ABCN的面积最大．

Answer 1

分析：设BM=x，则MC=4-x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．

解答：解：设BM=x，则MC=4-x，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则

AB

MC

=

BM

CN

，即

4

4-x

=

x

CN

，
解得CN=

x(4-x)

4

，
∴S_{四边形ABCN}=

1

2

×4×[4+

x(4-x)

4

]=-

1

2

x²+2x+8，
∵-

1

2

＜0，
∴当x=-

b

2a

=-

2

2(-  1 2 )

=2时，S_{四边形ABCN}最大．
故答案为：2．

点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．