Question

“数缺形时少直观，形少数时难入微”．小明学习上爱动脑，在计算

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…的值时构造了这样一个图形：如图，正△ABC面积为

1

3

，分别取AC、BC两边的中点D、E，再分别取CD、CE的中点，依次取下去…，能直观地求出它的值．也请你根据这个图形计算：

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…=______．

Answer 1

设第n个小三角形的面积为s_n，则s_n=

4-n

3

根据中位线定理，得出小三角形的面积是对应梯形面积的

1

3

即s_n=

1

3

•

4-n-1-4-n

3

=

4-n-1-4-n

9

那么，s₁+s₂+s₃+…+s_n=

1

9

（1-4^-1+4^-1-4^-2+…+4^-n-2-4^-n-1+4^-n-1-4^-n）=

1-4-n

9

同时，s₁+s₂+s₃+…+s_n=

4-1+4-2+4-3+…+4-n

3

以上两式联立解得：

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…=

1-4-n

3