Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AC是⊙O₁的切线且交⊙O₂于点C，AD是⊙O₂的切线且交⊙O₁于点D．连接DB、CB、AB．
（1）求证：AB²=BC•BD；
（2）延长CB交⊙O₁于点E，延长DB交⊙O₂于点F．求证：△AEC≌△ADF．

Answer 1

分析：（1）将乘积式化为比例式，然后证线段所在的三角形全等，即证△ABC∽△DBA；
（2）所求的两个三角形中，根据圆周角定理即可得到两组相等的对应角，关键是找出一组相等的对应边；连接DE，证∠AED=∠ADE即可；易知∠ADE=∠ABE=∠BAC+∠C，而∠AED=∠ABF（圆内接四边形的外角等于内对角）=∠BDA+∠BAD；观察上述两式，∠BAC、∠ADB和∠C、∠ABF都是（1）得到的相似三角形的对应角，由此可证得∠AED=∠ADE，即可得到AE=AD，由此得证．

解答：证明：（1）∵AC为⊙O₁的切线，
∴∠BAC=∠D，同理∠DAB=∠C；（2分）
∴△ABC∽△DBA，∴

AB

BD

=

BC

AB

（3分）
即AB²=BC•BD；（4分）

（2）连接ED；
则∠ADE=∠ABE=∠BAC+∠C，∠AED=∠ABF=∠BAD+∠ADB；
由（1）知△ABC∽△DBA，
∴∠BAC+∠C=∠BAD+∠ADB；
∴∠ADE=∠AED，∴AE=AD（7分）
而∠AEB=∠ADB，∠C=∠F，
∴△AEC≌△ADF．（8分）

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、弦切角定理、圆内接四边形的性质以及全等三角形的判定等知识的综合应用．